¿Qué es un Fractal?

¿QUÉ ES UN FRACTAL?

Un fractal es básicamente una figura geométrica. Los fractales tienen una propiedad que les diferencia de las demás representaciones geométricas y es que son Auto semejantes, es decir que las figuras se repiten una y otra vez de una forma infinita. Otra propiedad es que los fractales tienen un número infinito de vértices.

Historia

HISTORIA

En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión” (en francés). En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía: “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

De forma simplificada, esa dimensión tan rara se podría entender de la siguiente manera: Una línea recta de longitud N queda recubierta por un número N de segmentos de longitud unidad. Podemos expresarlo diciendo que longitud línea = (N)^(+1) . Un cuadrado con lado N queda recubierto por N^2 pequeños cuadrados de lado la unidad. De forma similar a la línea se puede expresar que superficie-cuadrado = (N)^(+2) . Sabemos que una línea recta tiene dimensión topológica 1 y una superficie dimensión 2. Para recubrirlos necesitamos un elemento similar pero más pequeño n^D veces (en estos ejemplos de magnitud unidad ). En general, el exponente D, generalizado a cualquier objeto, representa la dimensión de Hausdorff-Besicovitch del objeto.

CARACTERÍSTICAS DE LOS FRACTALES

Autosimilitud
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
§  Autosimilitud exacta: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
§  Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
§  Autosimilitud estadística: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.
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